Номер 599, страница 178 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

599. Тонкая собирающая линза дает на экране изображение предмета, увеличенное в $\Gamma = 2,0$ раза. Расстояние между предметом и экраном на $\Delta l = 15$ см больше двойного фокусного расстояния линзы. Определите расстояние от линзы до экрана.

Дано:
Увеличение тонкой собирающей линзы $Γ = 2,0$
Расстояние между предметом и экраном $L = 2F + \Delta l$, где $F$ - фокусное расстояние, а $\Delta l = 15 \text{ см}$

$\Delta l = 15 \text{ см} = 0,15 \text{ м}$

Найти:
Расстояние от линзы до экрана $f - ?$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой для линейного увеличения. Пусть $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы до изображения (экрана), $F$ – фокусное расстояние линзы.

Формула тонкой линзы имеет вид:
$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Линейное увеличение линзы определяется соотношением:
$ Γ = \frac{f}{d} $

Из условия задачи $Γ = 2,0$. Выразим из формулы увеличения расстояние $d$ через $f$:
$d = \frac{f}{Γ} = \frac{f}{2}$

Расстояние $L$ между предметом и экраном (действительным изображением) равно сумме расстояний от предмета до линзы и от линзы до экрана: $L = d + f$.
Подставив в это выражение $d = f/2$, получим:
$L = \frac{f}{2} + f = \frac{3f}{2}$

Теперь выразим фокусное расстояние $F$ через $f$. Для этого подставим $d = f/2$ в формулу тонкой линзы:
$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{f/2} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f} + \frac{1}{f} = \frac{3}{f} $
Из этого следует, что $F = \frac{f}{3}$.

Согласно условию, расстояние между предметом и экраном $L$ на $\Delta l$ больше двойного фокусного расстояния $2F$:
$L = 2F + \Delta l$

Подставим в это соотношение найденные выражения для $L$ и $F$, выраженные через $f$:
$\frac{3f}{2} = 2 \cdot \left(\frac{f}{3}\right) + \Delta l$

Решим полученное уравнение относительно $f$:
$\frac{3f}{2} - \frac{2f}{3} = \Delta l$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{9f - 4f}{6} = \Delta l$
$\frac{5f}{6} = \Delta l$
$f = \frac{6 \cdot \Delta l}{5}$

Подставим числовое значение $\Delta l = 15 \text{ см}$ и вычислим $f$:
$f = \frac{6 \cdot 15 \text{ см}}{5} = 6 \cdot 3 \text{ см} = 18 \text{ см}$.

Ответ: расстояние от линзы до экрана равно 18 см.