Номер 600, страница 178 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

600. С помощью тонкой линзы на экране получено увеличенное изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси линзы. Расстояние между предметом и экраном в $n = 4,5$ раза больше фокусного расстояния линзы. Определите линейное увеличение линзы.

Дано:

$L = n \cdot F$

$n = 4.5$

Изображение действительное и увеличенное.

Найти:

$G - ?$

Решение:

Введем обозначения:$d$ – расстояние от предмета до линзы,$f$ – расстояние от линзы до изображения (экрана),$F$ – фокусное расстояние линзы,$L$ – расстояние между предметом и экраном,$G$ – линейное увеличение линзы.

Поскольку изображение получено на экране, оно является действительным. Для действительного изображения, создаваемого собирающей линзой, расстояние между предметом и экраном равно сумме расстояния от предмета до линзы и расстояния от линзы до изображения:$L = d + f$.

Согласно условию задачи, расстояние между предметом и экраном в $n=4.5$ раза больше фокусного расстояния:$L = 4.5F$.Следовательно, мы можем записать:$d + f = 4.5F$.

Связь между расстояниями $d$, $f$ и $F$ описывается формулой тонкой линзы:$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$.

Линейное увеличение линзы определяется как отношение расстояния от линзы до изображения к расстоянию от предмета до линзы:$G = \frac{f}{d}$.По условию, изображение увеличенное, значит $G > 1$.

Выразим $f$ через $d$ и $G$: $f = G \cdot d$.Подставим это выражение в уравнение $d + f = 4.5F$:$d + G \cdot d = 4.5F \implies d(1+G) = 4.5F$. (1)

Теперь подставим $f = G \cdot d$ в формулу тонкой линзы:$\frac{1}{d} + \frac{1}{G \cdot d} = \frac{1}{F}$.Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{G+1}{G \cdot d} = \frac{1}{F}$. (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2). Выразим $d$ из уравнения (1):$d = \frac{4.5F}{1+G}$.Подставим это выражение для $d$ в уравнение (2):$\frac{G+1}{G \cdot \frac{4.5F}{1+G}} = \frac{1}{F}$.

Упростим полученное выражение:$\frac{(G+1)^2}{4.5 \cdot G \cdot F} = \frac{1}{F}$.Сократим $F$ в обеих частях уравнения (так как $F \ne 0$):$\frac{(G+1)^2}{4.5G} = 1 \implies (G+1)^2 = 4.5G$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $G$:$G^2 + 2G + 1 = 4.5G$$G^2 - 2.5G + 1 = 0$.Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:$2G^2 - 5G + 2 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения:$G_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

Получаем два возможных значения для увеличения:$G_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.$G_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

По условию задачи, изображение является увеличенным, что означает, что линейное увеличение должно быть больше единицы ($G > 1$). Этому условию удовлетворяет только корень $G_1 = 2$. Второй корень $G_2=0.5$ соответствует уменьшенному изображению.

Ответ: $G=2$.