Номер 607, страница 179 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

607. Во сколько раз высота предмета больше высоты изображения, полученного с помощью тонкой рассеивающей линзы, если расстояние от изображения до одного из фокусов в четыре раза больше, чем до другого?

Дано:

Линза – тонкая, рассеивающая.

Расстояние от изображения до одного из фокусов в 4 раза больше, чем до другого.

Найти:

$\frac{H}{h}$ – отношение высоты предмета к высоте изображения.

Решение:

Расположим оптический центр тонкой рассеивающей линзы в начале координат ($x=0$), а главную оптическую ось вдоль оси $Ox$. Фокусы линзы находятся в точках с координатами $F_1(-F)$ и $F_2(F)$, где $F$ – модуль фокусного расстояния линзы.

Рассеивающая линза всегда создает мнимое, прямое и уменьшенное изображение действительного предмета. Это изображение располагается с той же стороны от линзы, что и предмет, между линзой и ее передним фокусом. Пусть изображение находится в точке с координатой $x_{и}$. Тогда $-F < x_{и} < 0$. Расстояние от линзы до изображения равно $f = |x_{и}| = -x_{и}$.

Найдем расстояния от изображения до фокусов:

Расстояние до переднего фокуса $F_1$, расположенного в точке $-F$: $L_1 = |x_{и} - (-F)| = |-f + F| = F - f$, так как $F > f$.

Расстояние до заднего фокуса $F_2$, расположенного в точке $F$: $L_2 = |x_{и} - F| = |-f - F| = f + F$.

Так как $f > 0$, очевидно, что $L_2 > L_1$. По условию задачи, расстояние до одного фокуса в четыре раза больше, чем до другого. Следовательно, $L_2 = 4L_1$.

Подставим выражения для $L_1$ и $L_2$ в это соотношение:

$f + F = 4(F - f)$

$f + F = 4F - 4f$

$5f = 3F$

Отсюда находим расстояние от изображения до линзы:

$f = \frac{3}{5}F$

Теперь воспользуемся формулой тонкой линзы. Для рассеивающей линзы, используя модули величин, формула имеет вид:

$\frac{1}{d} - \frac{1}{f} = -\frac{1}{F}$

где $d$ – расстояние от предмета до линзы.

Выразим из формулы $\frac{1}{d}$ и подставим найденное значение $f$:

$\frac{1}{d} = \frac{1}{f} - \frac{1}{F} = \frac{1}{\frac{3}{5}F} - \frac{1}{F} = \frac{5}{3F} - \frac{3}{3F} = \frac{2}{3F}$

Отсюда находим расстояние от предмета до линзы:

$d = \frac{3}{2}F$

Отношение высоты предмета $H$ к высоте изображения $h$ равно отношению расстояния от предмета до линзы к расстоянию от изображения до линзы (обратное линейное увеличение):

$\frac{H}{h} = \frac{d}{f}$

Подставим найденные значения $d$ и $f$:

$\frac{H}{h} = \frac{\frac{3}{2}F}{\frac{3}{5}F} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{2} = 2,5$

Таким образом, высота предмета в 2,5 раза больше высоты изображения.

Ответ: в 2,5 раза.