Номер 612, страница 180 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

612. В круглое отверстие в непрозрачном экране вставлена тонкая рассеивающая линза с фокусным расстоянием $|F_1| = 10 \text{ см}$, на которую падает широкий пучок световых лучей, параллельных ее главной оптической оси. На расстоянии $l = 30 \text{ см}$ от линзы параллельно ей расположен экран. Определите, какое фокусное расстояние должна иметь собирающая линза, чтобы при замене рассеивающей линзы на собирающую радиус светлого круга на экране не изменился.

Дано:

Фокусное расстояние рассеивающей линзы: $|F_1| = 10$ см

Расстояние от линзы до экрана: $l = 30$ см

Радиус светлого круга с рассеивающей линзой $R_1$ равен радиусу круга с собирающей линзой $R_2$ ($R_1 = R_2$).

Так как первая линза рассеивающая, ее фокусное расстояние отрицательно: $F_1 = -10$ см.

$|F_1| = 0.1$ м
$l = 0.3$ м
$F_1 = -0.1$ м

Найти:

Фокусное расстояние собирающей линзы $F_2$.

Решение:

1. Рассмотрим случай с рассеивающей линзой.

На линзу падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси. После прохождения через рассеивающую линзу лучи расходятся так, как будто они вышли из ее мнимого фокуса $F_1$, расположенного перед линзой.

Пусть радиус отверстия, в которое вставлена линза, равен $r$. Тогда радиус светлого круга на экране $R_1$ можно найти из подобия треугольников. Один треугольник образуется главной оптической осью, радиусом линзы $r$ и лучом, идущим от края линзы к фокусу. Его катеты равны $|F_1|$ и $r$. Второй, подобный ему, треугольник имеет катеты, равные $l+|F_1|$ и $R_1$.

Из подобия треугольников следует соотношение:

$ \frac{R_1}{r} = \frac{l + |F_1|}{|F_1|} $

Подставим числовые значения:

$ \frac{R_1}{r} = \frac{30 \text{ см} + 10 \text{ см}}{10 \text{ см}} = \frac{40}{10} = 4 $

Отсюда $R_1 = 4r$.

2. Рассмотрим случай с собирающей линзой.

Параллельный пучок лучей после прохождения через собирающую линзу с фокусным расстоянием $F_2$ сходится в ее главном фокусе. Радиус светлого пятна на экране $R_2$ также найдем из подобия треугольников.

Один треугольник имеет катеты $F_2$ и $r$ (радиус линзы). Второй, подобный ему, треугольник образован на экране. Его катеты равны $|l - F_2|$ и $R_2$.

Из подобия треугольников получаем:

$ \frac{R_2}{r} = \frac{|l - F_2|}{F_2} $

3. Найдем фокусное расстояние $F_2$.

По условию задачи радиусы светлых кругов в обоих случаях одинаковы: $R_1 = R_2$. Следовательно, равны и их отношения к радиусу линзы:

$ \frac{R_1}{r} = \frac{R_2}{r} $

$ 4 = \frac{|l - F_2|}{F_2} $

Подставим значение $l=30$ см:

$ 4 = \frac{|30 - F_2|}{F_2} $

Раскроем модуль, рассмотрев два возможных случая.

Случай а) $30 - F_2 \ge 0$, то есть $F_2 \le 30$ см.

$ 4 = \frac{30 - F_2}{F_2} $

$ 4F_2 = 30 - F_2 $

$ 5F_2 = 30 $

$ F_2 = 6 $ см.

Это решение ($6$ см) удовлетворяет условию $F_2 \le 30$ см, а также тому, что фокусное расстояние собирающей линзы положительно.

Случай б) $30 - F_2 < 0$, то есть $F_2 > 30$ см.

$ 4 = \frac{-(30 - F_2)}{F_2} = \frac{F_2 - 30}{F_2} $

$ 4F_2 = F_2 - 30 $

$ 3F_2 = -30 $

$ F_2 = -10 $ см.

Это решение не является физически корректным, так как фокусное расстояние собирающей линзы должно быть положительным. Кроме того, оно противоречит предположению $F_2 > 30$ см.

Следовательно, единственное подходящее решение — $F_2 = 6$ см.

Ответ: фокусное расстояние собирающей линзы должно быть равно 6 см.