Номер 617, страница 181 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

617. *Точечный источник света находится на расстоянии $d = 60$ см от тонкой собирающей линзы на ее главной оптической оси. Фокусное расстояние линзы $F = 40$ см. Линзу разрезали на две половины вдоль плоскости, в которой лежит главная оптическая ось. Обе половины линзы раздвинули симметрично на расстояние $l = 2$ мм в направлении, перпендикулярном плоскости разреза. Определите расстояние между действительными изображениями источника света.

Дано:

$d = 60$ см

$F = 40$ см

$l = 2$ мм

Перевод в СИ:

$d = 0.6$ м

$F = 0.4$ м

$l = 0.002$ м

Найти:

$L$ - расстояние между действительными изображениями

Решение:

Сначала определим расстояние $f$ от линзы до изображения, которое давала бы целая линза, используя формулу тонкой линзы:

$$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$

Выразим отсюда $f$:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{F \cdot d} $$

$$ f = \frac{F \cdot d}{d - F} $$

Подставим числовые значения:

$$ f = \frac{40 \text{ см} \cdot 60 \text{ см}}{60 \text{ см} - 40 \text{ см}} = \frac{2400 \text{ см}^2}{20 \text{ см}} = 120 \text{ см} = 1.2 \text{ м} $$

После того как линзу разрезали и раздвинули ее половины, каждая половина формирует свое собственное изображение. Систему можно рассматривать как две отдельные линзы, оптические оси которых смещены на расстояние $h = l/2$ вверх и вниз от главной оптической оси исходной линзы.

Источник света, находящийся на исходной главной оптической оси, для каждой смещенной половины линзы является внеосевым объектом, расположенным на расстоянии $h = l/2$ от их новых оптических осей.

Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ равно:

$$ \Gamma = -\frac{f}{d} = -\frac{120 \text{ см}}{60 \text{ см}} = -2 $$

Рассмотрим верхнюю половину линзы. Ее оптическая ось смещена вверх на $h = l/2$. Относительно этой новой оси источник света имеет координату (высоту) $H_{o1} = -h = -l/2$.

Изображение, создаваемое этой половиной, будет смещено относительно ее оптической оси на расстояние $H_{i1}$:

$$ H_{i1} = \Gamma \cdot H_{o1} = (-2) \cdot \left(-\frac{l}{2}\right) = l $$

Таким образом, абсолютная координата (высота) первого изображения $y_1$ относительно исходной оптической оси равна сумме смещения оси и смещения изображения относительно этой новой оси:

$$ y_1 = h + H_{i1} = \frac{l}{2} + l = \frac{3}{2}l $$

Аналогично для нижней половины линзы. Ее оптическая ось смещена вниз на $h = l/2$. Относительно этой оси источник имеет координату $H_{o2} = +h = +l/2$.

Смещение изображения относительно новой оси составит:

$$ H_{i2} = \Gamma \cdot H_{o2} = (-2) \cdot \left(\frac{l}{2}\right) = -l $$

Абсолютная координата второго изображения $y_2$ относительно исходной оптической оси:

$$ y_2 = -h + H_{i2} = -\frac{l}{2} - l = -\frac{3}{2}l $$

Расстояние $L$ между двумя действительными изображениями равно модулю разности их координат:

$$ L = |y_1 - y_2| = \left|\frac{3}{2}l - \left(-\frac{3}{2}l\right)\right| = \left|\frac{3}{2}l + \frac{3}{2}l\right| = 3l $$

Подставим значение $l=2$ мм:

$$ L = 3 \cdot 2 \text{ мм} = 6 \text{ мм} $$

Ответ: расстояние между действительными изображениями источника света составляет $6$ мм.