Номер 618, страница 182 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

618. *На главной оптической оси на расстоянии $d = 80 \text{ см}$ от тонкой собирающей линзы, фокусное расстояние которой $F = 20 \text{ см}$, расположен точечный источник света. Радиусы кривизны обеих поверхностей линзы одинаковы. Линзу разрезали на две половины вдоль плоскости, перпендикулярной главной оптической оси, и симметрично сместили их на расстояние $r = 4 \text{ см}$ в направлении, перпендикулярном к главной оптической оси (рис. 169). Определите, на каком расстоянии друг от друга будут расположены изображения источника, полученные в половинках линзы.

Рис. 169

Дано:

$d = 80$ см

$F = 20$ см

$r = 4$ см

$d = 0.8$ м

$F = 0.2$ м

$r = 0.04$ м

Найти:

$L$ - расстояние между изображениями

Решение:

Когда линзу разрезали на две половины и раздвинули, каждая половина стала действовать как отдельная тонкая линза. Оптические оси этих половин оказались смещенными относительно главной оптической оси исходной линзы на расстояние $h = \frac{r}{2}$ в противоположные стороны.

Источник света $S$ расположен на главной оптической оси исходной линзы. Для каждой из половин линзы источник света оказывается смещенным относительно их собственных оптических осей.

Сначала найдем расстояние $f$ от плоскости линз до плоскости, в которой формируются изображения. Используем формулу тонкой линзы:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Отсюда выразим $f$:

$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d-F}{dF} $

$ f = \frac{dF}{d-F} $

Подставим числовые значения:

$ f = \frac{80 \cdot 20}{80 - 20} = \frac{1600}{60} = \frac{80}{3} $ см.

Оба изображения будут находиться на этом расстоянии от линз.

Теперь определим поперечное смещение каждого изображения относительно исходной главной оптической оси. Смещение оптического центра каждой половины линзы равно $h = \frac{r}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Рассмотрим ход луча, проходящего из источника $S$ через оптический центр $O_1$ верхней половины линзы. Этот луч не преломляется. Из подобия треугольников (один с катетами $h$ и $d$ до линзы, другой с катетами $y_1'$ и $f$ после линзы, где $y_1'$ - смещение изображения относительно оптической оси половины линзы) следует соотношение:

$ \frac{y_1'}{f} = \frac{h}{d} $

$ y_1' = h \frac{f}{d} $

Полное смещение первого изображения $S_1$ относительно исходной главной оптической оси равно сумме смещения оптического центра $h$ и смещения изображения относительно этого центра $y_1'$:

$ y_1 = h + y_1' = h + h \frac{f}{d} = h(1 + \frac{f}{d}) $

Аналогично для нижней половины линзы, смещение ее оптического центра $-h$. Изображение $S_2$ будет смещено на расстояние $y_2$ в противоположную сторону:

$ y_2 = -h(1 + \frac{f}{d}) $

Расстояние $L$ между изображениями $S_1$ и $S_2$ равно:

$ L = |y_1 - y_2| = |h(1 + \frac{f}{d}) - (-h(1 + \frac{f}{d}))| = 2h(1 + \frac{f}{d}) $

Так как $2h = r$, то:

$ L = r(1 + \frac{f}{d}) $

Подставим значения:

$ L = 4 \cdot (1 + \frac{80/3}{80}) = 4 \cdot (1 + \frac{1}{3}) = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} $ см.

$ L \approx 5.33 $ см.

Ответ: Расстояние между изображениями будет равно $ \frac{16}{3} $ см (приблизительно 5.33 см).