Номер 613, страница 180 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

613. На главной оптической оси на расстоянии $d = 50$ см от тонкой собирающей линзы расположен точечный источник света. Линзу переместили на расстояние $r = 60$ мм в направлении, перпендикулярном главной оптической оси. Определите, на какое расстояние переместилось изображение источника света, если фокусное расстояние линзы $F = 20$ см.

Дано:

$d = 50$ см

$r = 60$ мм

$F = 20$ см

Переведем все данные в систему СИ:

$d = 0.5$ м

$r = 0.06$ м

$F = 0.2$ м

Найти:

$\Delta s$ — расстояние, на которое переместилось изображение источника света.

Решение:

Сначала определим начальное положение изображения. Когда источник света находится на главной оптической оси на расстоянии $d$ от линзы, расстояние до его изображения $f$ можно найти с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Выразим из этой формулы расстояние $f$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF}$

$f = \frac{dF}{d - F}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$f = \frac{0.5 \cdot 0.2}{0.5 - 0.2} = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3}$ м

Теперь рассмотрим ситуацию после перемещения линзы. Введем систему координат, в которой источник света $S$ находится в начале координат $(0, 0)$, а главная оптическая ось линзы в начальном положении совпадает с осью $x$.

Начальное положение центра линзы $O_1$ имеет координаты $(d, 0)$. Начальное изображение $I_1$ находится на оси $x$ на расстоянии $f$ от линзы, то есть его координаты $I_1(d+f, 0)$.

Линзу перемещают на расстояние $r$ перпендикулярно главной оптической оси. Новое положение центра линзы $O_2$ имеет координаты $(d, r)$.

Расстояние от источника до плоскости линзы (прямая $x=d$) не изменилось, поэтому расстояние от плоскости линзы до плоскости изображения останется прежним, равным $f$. Это означает, что новое изображение $I_2$ будет лежать на прямой $x = d+f$.

Луч, идущий от источника $S(0, 0)$ через новый оптический центр линзы $O_2(d, r)$, не преломляется. Следовательно, новое изображение $I_2$ должно лежать на прямой, проходящей через точки $S$ и $O_2$.

Уравнение прямой, проходящей через точки $S(0,0)$ и $O_2(d,r)$, имеет вид $y = \frac{r}{d}x$.

Так как точка $I_2(d+f, y_2)$ лежит на этой прямой, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим абсциссу точки $I_2$ в уравнение прямой, чтобы найти ее ординату $y_2$:

$y_2 = \frac{r}{d}(d+f) = r(1 + \frac{f}{d})$

Итак, координаты нового изображения $I_2(d+f, r(1 + \frac{f}{d}))$.

Расстояние $\Delta s$, на которое переместилось изображение, — это расстояние между точками $I_1(d+f, 0)$ и $I_2(d+f, r(1 + \frac{f}{d}))$.

$\Delta s = \sqrt{((d+f)-(d+f))^2 + (r(1 + \frac{f}{d}) - 0)^2} = r(1 + \frac{f}{d})$

Подставим числовые значения:

$\Delta s = 0.06 \text{ м} \cdot (1 + \frac{1/3 \text{ м}}{0.5 \text{ м}}) = 0.06 \cdot (1 + \frac{1}{1.5}) = 0.06 \cdot (1 + \frac{2}{3}) = 0.06 \cdot \frac{5}{3} = 0.1$ м.

Переводя в сантиметры, получаем $0.1$ м $= 10$ см.

Ответ: изображение источника света переместилось на расстояние 10 см.