Номер 608, страница 179 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

608. Стержень расположен вдоль главной оптической оси тонкой собирающей линзы. Определите продольное увеличение стержня, если линза создает изображение предмета, расположенного у одного конца стержня, с увеличением $\Gamma_1 = 4$, а у другого конца — с увеличением $\Gamma_2 = 2,75$. Оба конца стержня располагаются от линзы на расстоянии больше фокусного.

Дано:

Поперечное увеличение для одного конца стержня, $\Gamma_1 = 4$.

Поперечное увеличение для другого конца стержня, $\Gamma_2 = 2,75$.

Линза собирающая.

Оба конца стержня находятся на расстоянии больше фокусного ($d > F$).

Найти:

Продольное увеличение стержня, $\gamma$.

Решение:

Продольное увеличение $\gamma$ определяется как отношение длины изображения стержня $L_{из}$ к длине самого стержня $L_{пр}$. Так как стержень расположен вдоль главной оптической оси, его длина и длина его изображения вычисляются как разность координат концов.

$\gamma = \frac{L_{из}}{L_{пр}} = \frac{|f_2 - f_1|}{|d_2 - d_1|}$

Здесь $d_1$ и $d_2$ — расстояния от линзы до концов стержня, а $f_1$ и $f_2$ — расстояния от линзы до соответствующих изображений этих концов.

Воспользуемся формулой тонкой линзы для собирающей линзы и действительного изображения (по условию $d > F$):

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $F$ — фокусное расстояние линзы.

Модуль поперечного увеличения $\Gamma$ для каждого конца стержня определяется как:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Выразим расстояние до предмета $d$ и расстояние до изображения $f$ через фокусное расстояние $F$ и поперечное увеличение $\Gamma$.

Из формулы увеличения имеем $f = \Gamma d$. Подставим это выражение в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{\Gamma d} = \frac{1}{F}$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{\Gamma + 1}{\Gamma d} = \frac{1}{F}$. Отсюда выразим $d$:

$d = F \frac{\Gamma + 1}{\Gamma} = F(1 + \frac{1}{\Gamma})$

Теперь выразим $f$ через $F$ и $\Gamma$, используя $f = \Gamma d$:

$f = \Gamma \cdot F(1 + \frac{1}{\Gamma}) = F(\Gamma + 1)$

Применим полученные формулы для двух концов стержня с поперечными увеличениями $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$:

$d_1 = F(1 + \frac{1}{\Gamma_1})$ и $f_1 = F(1 + \Gamma_1)$

$d_2 = F(1 + \frac{1}{\Gamma_2})$ и $f_2 = F(1 + \Gamma_2)$

Теперь найдем длину стержня $L_{пр}$ и его изображения $L_{из}$.

$L_{пр} = |d_2 - d_1| = |F(1 + \frac{1}{\Gamma_2}) - F(1 + \frac{1}{\Gamma_1})| = F \cdot |\frac{1}{\Gamma_2} - \frac{1}{\Gamma_1}| = F \cdot |\frac{\Gamma_1 - \Gamma_2}{\Gamma_1 \Gamma_2}|$

$L_{из} = |f_2 - f_1| = |F(1 + \Gamma_2) - F(1 + \Gamma_1)| = F \cdot |\Gamma_2 - \Gamma_1|$

Теперь мы можем найти продольное увеличение $\gamma$, разделив длину изображения на длину предмета:

$\gamma = \frac{L_{из}}{L_{пр}} = \frac{F \cdot |\Gamma_2 - \Gamma_1|}{F \cdot |\frac{\Gamma_1 - \Gamma_2}{\Gamma_1 \Gamma_2}|} = \frac{|\Gamma_2 - \Gamma_1|}{ \frac{|\Gamma_1 - \Gamma_2|}{|\Gamma_1 \Gamma_2|}} = |\Gamma_1 \Gamma_2|$

Таким образом, продольное увеличение равно произведению поперечных увеличений его концов. Подставим числовые значения из условия задачи:

$\gamma = \Gamma_1 \cdot \Gamma_2 = 4 \cdot 2,75 = 11$

Ответ: Продольное увеличение стержня равно 11.