Номер 609, страница 179 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

609. Тонкая собирающая линза создает мнимое изображение предмета с некоторым увеличением. Оказалось, что для получения изображения с двукратным увеличением предмет нужно либо придвинуть к линзе на $l_1 = 3$ см, либо отодвинуть от нее на $l_2 = 6$ см. Определите первоначальное увеличение предмета.

Дано:

Смещение предмета к линзе: $l_1 = 3$ см

Смещение предмета от линзы: $l_2 = 6$ см

Конечное увеличение: $Г' = 2$

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0.03$ м

$l_2 = 0.06$ м

Найти:

Первоначальное увеличение $Г$.

Решение:

Формула тонкой линзы имеет вид: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $, где $F$ – фокусное расстояние, $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы до изображения.

Увеличение линзы определяется как $ Г = \frac{|f|}{d} $.

Изначально собирающая линза ($F > 0$) создает мнимое изображение. Это означает, что предмет находится между фокусом и линзой ($d < F$), а его изображение находится по ту же сторону от линзы, что и предмет ($f < 0$).

Для мнимого изображения формула тонкой линзы принимает вид: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|} $.

Выразим $|f|$ через увеличение $Г$: $|f| = Г \cdot d$. Подставим в формулу линзы:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{Г \cdot d} = \frac{Г-1}{Г \cdot d} $

Из этой формулы можно выразить $d$: $ d = F \frac{Г-1}{Г} $.

Рассмотрим два случая, описанные в условии, для получения изображения с увеличением $Г' = 2$.

1. Предмет придвигают к линзе на $l_1$.

Новое расстояние до предмета $d_1 = d - l_1$. Поскольку $d < F$, то и $d_1 < F$, следовательно, изображение остаётся мнимым. Применяем выведенную выше формулу для $d_1$ и $Г' = 2$:

$ d_1 = F \frac{Г'-1}{Г'} \implies d - l_1 = F \frac{2-1}{2} = \frac{F}{2} \quad (1) $

2. Предмет отодвигают от линзы на $l_2$.

Новое расстояние до предмета $d_2 = d + l_2$. Собирающая линза может давать увеличенное изображение не только мнимое, но и действительное (когда предмет находится между фокусом и двойным фокусом, $F < d < 2F$).

Предположение о том, что и второе изображение мнимое, приводит к противоречию ($d_2 = F/2$, что вместе с уравнением (1) дает $-l_1 = l_2$). Следовательно, во втором случае изображение является действительным.

Для действительного изображения ($f > 0$) формула линзы имеет вид: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} $.

Увеличение $Г' = \frac{f_2}{d_2} = 2$, откуда $f_2 = 2d_2$. Подставим это в формулу линзы:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{2d_2} = \frac{3}{2d_2} $

Отсюда выражаем $d_2$: $ d_2 = \frac{3F}{2} $. Так как $d_2 = d + l_2$, получаем второе уравнение:

$ d + l_2 = \frac{3F}{2} \quad (2) $

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $d$ и $F$:

$ \begin{cases} d - l_1 = \frac{F}{2} \\ d + l_2 = \frac{3F}{2} \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $F$:

$ (d + l_2) - (d - l_1) = \frac{3F}{2} - \frac{F}{2} $

$ l_1 + l_2 = F $

Подставим числовые значения (расчеты можно вести в сантиметрах):

$ F = 3 \text{ см} + 6 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Теперь найдем первоначальное расстояние до предмета $d$ из уравнения (1):

$ d = \frac{F}{2} + l_1 = \frac{9}{2} + 3 = 4.5 + 3 = 7.5 \text{ см}$.

Зная $F$ и $d$, мы можем найти первоначальное увеличение $Г$ для мнимого изображения. Для этого воспользуемся соотношением $ \frac{1}{F} = \frac{Г-1}{Г \cdot d} $:

$ \frac{1}{9} = \frac{Г-1}{Г \cdot 7.5} $

$ 7.5 \cdot Г = 9 \cdot (Г-1) $

$ 7.5Г = 9Г - 9 $

$ 1.5Г = 9 $

$ Г = \frac{9}{1.5} = 6 $

Ответ: первоначальное увеличение предмета равно 6.