Номер 610, страница 179 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

610. На тонкую собирающую линзу падает цилиндрический пучок лучей диаметром $d_0 = 60$ мм, параллельных главной оптической оси. Ось симметрии пучка совпадает с главной оптической осью линзы. За линзой установили экран сначала на расстоянии $l_1 = 80$ мм, а затем — на расстоянии $l_2 = 120$ мм от линзы. Определите диаметр светлого пятна на экране, если его диаметр в обоих случаях был одинаков.

Дано

$d_0 = 60 \text{ мм} = 0.06 \text{ м}$

$l_1 = 80 \text{ мм} = 0.08 \text{ м}$

$l_2 = 120 \text{ мм} = 0.12 \text{ м}$

Диаметр светового пятна в обоих случаях одинаков: $d_1 = d_2 = d$.

Найти:

$d$

Решение

Поскольку на линзу падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после прохождения через собирающую линзу они соберутся в ее фокусе. Лучи образуют сходящийся, а затем расходящийся световой конус, вершина которого находится в фокальной точке линзы, на расстоянии фокусного расстояния $F$ от нее.

Рассмотрим ход крайних лучей пучка, которые падают на линзу на расстоянии $R_0 = d_0/2$ от главной оптической оси. На экране, расположенном на расстоянии $l$ от линзы, эти лучи образуют световое пятно радиусом $r = d/2$.

Из подобия треугольников, образованных ходом лучей и главной оптической осью, можно составить пропорцию. Один треугольник имеет катеты $R_0$ (у линзы) и $F$ (расстояние до фокуса). Другой, подобный ему, имеет катеты $r$ (на экране) и $|F - l|$ (расстояние от экрана до фокуса).

$\frac{r}{R_0} = \frac{|F - l|}{F}$

Заменяя радиусы на диаметры ($r = d/2$ и $R_0 = d_0/2$), получаем:

$\frac{d/2}{d_0/2} = \frac{|F - l|}{F} \Rightarrow \frac{d}{d_0} = \frac{|F - l|}{F}$

Из этого выражения диаметр пятна на экране равен:

$d = d_0 \frac{|F - l|}{F}$

По условию задачи, диаметр пятна $d$ одинаков для двух положений экрана $l_1$ и $l_2$:

$d_0 \frac{|F - l_1|}{F} = d_0 \frac{|F - l_2|}{F}$

Отсюда следует, что $|F - l_1| = |F - l_2|$.

Так как $l_1 \neq l_2$, это равенство выполняется только если экран в одном случае находится перед фокусом, а в другом — за фокусом. Это означает, что знаки выражений $(F - l_1)$ и $(F - l_2)$ противоположны. Примем $l_1 < l_2$, тогда $l_1 < F < l_2$.

$F - l_1 = -(F - l_2) = l_2 - F$

Из этого уравнения находим фокусное расстояние линзы $F$:

$2F = l_1 + l_2$

$F = \frac{l_1 + l_2}{2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$F = \frac{0.08 \text{ м} + 0.12 \text{ м}}{2} = \frac{0.20 \text{ м}}{2} = 0.1 \text{ м}$

Теперь, зная фокусное расстояние, можем вычислить диаметр светового пятна $d$, используя данные для любого из двух положений экрана, например, для $l_1$. Так как $l_1 < F$, то $|F - l_1| = F - l_1$.

$d = d_0 \frac{F - l_1}{F}$

$d = 0.06 \text{ м} \cdot \frac{0.1 \text{ м} - 0.08 \text{ м}}{0.1 \text{ м}} = 0.06 \text{ м} \cdot \frac{0.02 \text{ м}}{0.1 \text{ м}} = 0.06 \text{ м} \cdot 0.2 = 0.012 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры: $0.012 \text{ м} = 12 \text{ мм}$.

Ответ: $12 \text{ мм}$.