Номер 603, страница 178 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

603. С помощью тонкой линзы получают увеличенное в $\Gamma = 2$ раза действительное изображение предмета. Затем линзу передвигают на $l = 8$ см и получают мнимое изображение такого же размера. Определите фокусное расстояние линзы.

Дано:

$Γ_1 = 2$ (увеличение для действительного изображения)

$Γ_2 = 2$ (увеличение для мнимого изображения)

$l = 8$ см

Перевод в систему СИ:

$l = 0.08$ м

Найти:

$F$

Решение:

Так как линза дает как увеличенное действительное, так и мнимое изображение, она является собирающей.

1. Первый случай: действительное изображение.

Формула тонкой линзы для действительного изображения имеет вид:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} $

где $F$ — фокусное расстояние линзы, $d_1$ — расстояние от предмета до линзы, $f_1$ — расстояние от линзы до изображения. Линейное увеличение линзы $Γ_1$ определяется как отношение расстояния до изображения к расстоянию до предмета:

$ Γ_1 = \frac{f_1}{d_1} = 2 $

Из соотношения для увеличения выразим $f_1 = 2d_1$ и подставим в формулу тонкой линзы:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{2d_1} = \frac{2+1}{2d_1} = \frac{3}{2d_1} $

Из этого уравнения выразим расстояние $d_1$ от предмета до линзы через фокусное расстояние:

$ d_1 = \frac{3F}{2} $

2. Второй случай: мнимое изображение.

В условии сказано, что получают мнимое изображение такого же размера, как и в первом случае. Это означает, что модуль увеличения остался прежним, то есть $Γ_2 = 2$. Формула тонкой линзы для мнимого изображения:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} - \frac{1}{f_2} $

где $d_2$ — новое расстояние от предмета до линзы, а $f_2$ — расстояние от линзы до мнимого изображения (берется по модулю). Увеличение в этом случае:

$ Γ_2 = \frac{f_2}{d_2} = 2 $

Выразим $f_2 = 2d_2$ и подставим в формулу линзы для второго случая:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} - \frac{1}{2d_2} = \frac{2-1}{2d_2} = \frac{1}{2d_2} $

Из этого уравнения выразим новое расстояние $d_2$:

$ d_2 = \frac{F}{2} $

3. Определение фокусного расстояния.

Линзу передвинули на расстояние $l$, при этом предмет остался на месте. Значит, изменение расстояния от предмета до линзы равно $l$:

$ l = |d_1 - d_2| $

Поскольку $d_1 = \frac{3F}{2}$ больше, чем $d_2 = \frac{F}{2}$, линзу передвинули ближе к предмету. Тогда:

$ l = d_1 - d_2 = \frac{3F}{2} - \frac{F}{2} = \frac{2F}{2} = F $

Следовательно, фокусное расстояние линзы равно расстоянию, на которое ее передвинули.

$ F = l = 8 \text{ см} $

Ответ: фокусное расстояние линзы равно 8 см.