Номер 601, страница 178 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

601. При помощи тонкой собирающей линзы на экране создали четкое изображение предмета высотой $H_1 = 25$ см. Если перемещать линзу к экрану, то можно получить второе четкое изображение предмета высотой $H_2 = 16$ см. Определите высоту предмета.

Дано:

$H_1 = 25$ см

$H_2 = 16$ см

$H_1 = 0.25$ м
$H_2 = 0.16$ м

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Данная задача основана на свойстве обратимости световых лучей, которое применимо к тонким линзам. Если расстояние между предметом и экраном ($L$) фиксировано и больше учетверенного фокусного расстояния линзы ($L > 4F$), то существует два положения собирающей линзы между ними, в которых на экране получается четкое действительное изображение предмета.

Пусть $h$ — высота предмета, $H$ — высота изображения, $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения (экрана).

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ определяется формулой:

$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$

Для первого положения линзы, когда высота изображения равна $H_1$, обозначим расстояние от предмета до линзы как $d_1$, а расстояние от линзы до изображения как $f_1$. Тогда увеличение для первого случая будет:

$\Gamma_1 = \frac{H_1}{h} = \frac{f_1}{d_1}$

Для второго положения линзы, когда высота изображения равна $H_2$, расстояния будут $d_2$ и $f_2$ соответственно. Увеличение для второго случая:

$\Gamma_2 = \frac{H_2}{h} = \frac{f_2}{d_2}$

Из-за свойства обратимости световых лучей, если первое положение линзы характеризуется парой расстояний $(d_1, f_1)$, то второе положение будет характеризоваться парой $(f_1, d_1)$. Это означает, что $d_2 = f_1$ и $f_2 = d_1$.

Подставим эти соотношения во вторую формулу для увеличения:

$\frac{H_2}{h} = \frac{d_1}{f_1}$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

1) $\frac{H_1}{h} = \frac{f_1}{d_1}$

2) $\frac{H_2}{h} = \frac{d_1}{f_1}$

Перемножим левые и правые части этих уравнений друг на друга:

$\frac{H_1}{h} \cdot \frac{H_2}{h} = \frac{f_1}{d_1} \cdot \frac{d_1}{f_1}$

После сокращения дробей в правой части уравнения, получаем:

$\frac{H_1 \cdot H_2}{h^2} = 1$

Из этого уравнения выражаем искомую высоту предмета $h$:

$h^2 = H_1 \cdot H_2$

$h = \sqrt{H_1 \cdot H_2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи. Для удобства можно использовать значения в сантиметрах.

$h = \sqrt{25 \text{ см} \cdot 16 \text{ см}} = \sqrt{400 \text{ см}^2} = 20 \text{ см}$

Ответ: высота предмета равна 20 см.