Номер 597, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

597. Высота изображения предмета, помещенного перед тонкой собирающей линзой на расстоянии $d = 60$ см, равна высоте предмета. Во сколько раз увеличится высота изображения, если предмет передвинуть в сторону линзы на $\Delta d = 20$ см?

Дано:

$d_1 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

$H_1 = h$ (высота изображения равна высоте предмета)

$\Delta d = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$\frac{H_2}{H_1} - ?$

Решение:

Для удобства вычислений будем использовать величины в сантиметрах, так как итоговый ответ является отношением и не зависит от выбора единиц измерения.

Формула тонкой линзы: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Формула линейного увеличения линзы: $\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$

где $F$ – фокусное расстояние линзы, $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы до изображения, $H$ – высота изображения, $h$ – высота предмета.

1. Рассмотрим начальное состояние системы (до перемещения предмета).
По условию, высота изображения $H_1$ равна высоте предмета $h$. Это означает, что линейное увеличение $\Gamma_1$ равно 1.$\Gamma_1 = \frac{H_1}{h} = 1$.
С другой стороны, $\Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1}$.
Приравнивая выражения для увеличения, получаем: $\frac{f_1}{d_1} = 1$, откуда следует, что расстояние до изображения $f_1$ равно расстоянию до предмета $d_1$.
$f_1 = d_1 = 60 \text{ см}$.
Теперь можем определить фокусное расстояние линзы, подставив известные значения в формулу тонкой линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{60} + \frac{1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$
Следовательно, фокусное расстояние линзы $F = 30 \text{ см}$.

2. Рассмотрим состояние системы после перемещения предмета.
Предмет передвинули на $\Delta d = 20 \text{ см}$ в сторону линзы. Новое расстояние от предмета до линзы:$d_2 = d_1 - \Delta d = 60 - 20 = 40 \text{ см}$.
Найдем новое расстояние до изображения $f_2$, используя найденное фокусное расстояние $F = 30 \text{ см}$:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2}$
$\frac{1}{30} = \frac{1}{40} + \frac{1}{f_2}$
Выразим $\frac{1}{f_2}$:
$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{30} - \frac{1}{40} = \frac{4 - 3}{120} = \frac{1}{120}$
Отсюда новое расстояние до изображения $f_2 = 120 \text{ см}$.

3. Найдем, во сколько раз увеличилась высота изображения.
Новое линейное увеличение $\Gamma_2$ равно:$\Gamma_2 = \frac{f_2}{d_2} = \frac{120}{40} = 3$.
Так как $\Gamma_2 = \frac{H_2}{h}$, то новая высота изображения $H_2 = 3h$.
Начальная высота изображения была $H_1 = h$.
Искомое отношение высот:$\frac{H_2}{H_1} = \frac{3h}{h} = 3$.

Ответ: Высота изображения увеличится в 3 раза.