Номер 596, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

596. С помощью тонкой собирающей линзы на экране получили увеличенное изображение предмета. После того как линзу сместили на расстояние $\Delta l = 5 \text{ см}$, на экране получили уменьшенное изображение предмета. Определите фокусное расстояние линзы, если расстояние между предметом и экраном оставалось постоянным и равным $L = 25 \text{ см}$.

Дано:

Смещение линзы, $\Delta l = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Расстояние между предметом и экраном, $L = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

Найти:

Фокусное расстояние линзы, $F$ - ?

Решение:

Эта задача описывает метод Бесселя для определения фокусного расстояния собирающей линзы. Суть метода заключается в том, что при фиксированном расстоянии $L$ между предметом и экраном (где $L > 4F$) существуют два положения линзы, при которых на экране получается резкое изображение.

Пусть в первом положении расстояние от предмета до линзы равно $d_1$, а расстояние от линзы до экрана (где формируется изображение) равно $f_1$. Согласно условию, в этом положении изображение увеличенное, что означает $f_1 > d_1$.

Расстояние между предметом и экраном $L$ является суммой расстояний от предмета до линзы и от линзы до изображения:

$L = d_1 + f_1$

Формула тонкой линзы для этого случая:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1}$

При смещении линзы на расстояние $\Delta l$ было получено второе резкое изображение, но уже уменьшенное. Пусть во втором положении расстояние от предмета до линзы равно $d_2$, а от линзы до экрана — $f_2$. Для уменьшенного изображения $f_2 < d_2$.

В силу свойства обратимости световых лучей, если пара расстояний $(d, f)$ дает резкое изображение при расстоянии $L = d+f$, то и пара $(f, d)$ также даст резкое изображение. Следовательно, два положения линзы, дающие резкое изображение, являются сопряженными:

$d_2 = f_1$ и $f_2 = d_1$

Смещение линзы $\Delta l$ — это расстояние между этими двумя положениями, то есть разница между расстояниями от предмета до линзы в двух случаях:

$\Delta l = |d_2 - d_1| = |f_1 - d_1|$

Так как в первом случае изображение было увеличенным ($f_1 > d_1$), мы можем убрать модуль:

$\Delta l = f_1 - d_1$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений для нахождения $d_1$ и $f_1$:

$d_1 + f_1 = L$

$f_1 - d_1 = \Delta l$

Сложим эти два уравнения:

$(d_1 + f_1) + (f_1 - d_1) = L + \Delta l$

$2f_1 = L + \Delta l \implies f_1 = \frac{L + \Delta l}{2}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(d_1 + f_1) - (f_1 - d_1) = L - \Delta l$

$2d_1 = L - \Delta l \implies d_1 = \frac{L - \Delta l}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи ($L = 25$ см, $\Delta l = 5$ см):

$f_1 = \frac{25 \text{ см} + 5 \text{ см}}{2} = \frac{30 \text{ см}}{2} = 15 \text{ см}$

$d_1 = \frac{25 \text{ см} - 5 \text{ см}}{2} = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см}$

Теперь, зная $d_1$ и $f_1$, можем определить фокусное расстояние $F$ с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{10 \text{ см}} + \frac{1}{15 \text{ см}}$

Приводя дроби к общему знаменателю 30, получаем:

$\frac{1}{F} = \frac{3}{30 \text{ см}} + \frac{2}{30 \text{ см}} = \frac{5}{30 \text{ см}} = \frac{1}{6 \text{ см}}$

Отсюда находим фокусное расстояние:

$F = 6 \text{ см}$

Ответ: фокусное расстояние линзы равно 6 см.