Номер 593, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

593. Тонкая линза с фокусным расстоянием $F_1 = 12 \text{ см}$ создала уменьшенное в три раза действительное изображение предмета. Если вторую линзу поместить на место первой, то она создаст увеличенное в три раза действительное изображение этого же предмета. Определите фокусное расстояние второй линзы.

Дано:

Фокусное расстояние первой линзы, $F_1 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Увеличение первой линзы, $Г_1 = 1/3$

Увеличение второй линзы, $Г_2 = 3$

Изображения, создаваемые обеими линзами, действительные.

Найти:

Фокусное расстояние второй линзы, $F_2$.

Решение:

Для решения задачи будем использовать формулу тонкой линзы и формулу линейного увеличения. Так как в обоих случаях изображения действительные, то линзы являются собирающими, а расстояния от предмета до линзы ($d$) и от линзы до изображения ($f$) — положительными.

Формула тонкой линзы: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Формула линейного увеличения: $Г = \frac{f}{d}$

1. Рассмотрим первый случай (первая линза).

Пусть $d_1$ — расстояние от предмета до первой линзы, а $f_1$ — расстояние от линзы до изображения. Из условия известно, что увеличение $Г_1 = 1/3$.

$Г_1 = \frac{f_1}{d_1} = \frac{1}{3}$, откуда получаем соотношение $d_1 = 3f_1$.

Подставим это соотношение в формулу тонкой линзы для первой линзы с фокусным расстоянием $F_1 = 12 \text{ см}$:

$\frac{1}{F_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{3f_1} + \frac{1}{f_1}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{12} = \frac{1+3}{3f_1} = \frac{4}{3f_1}$

Отсюда можем выразить и найти $f_1$ и $d_1$:

$3f_1 = 4 \cdot 12 \implies f_1 = \frac{48}{3} = 16 \text{ см}$.

$d_1 = 3f_1 = 3 \cdot 16 = 48 \text{ см}$.

Таким образом, в первом случае предмет находился на расстоянии 48 см от линзы.

2. Рассмотрим второй случай (вторая линза).

Согласно условию, вторую линзу помещают на место первой, а предмет остается на том же месте. Это означает, что расстояние от предмета до второй линзы $d_2$ равно расстоянию от предмета до первой линзы $d_1$.

$d_2 = d_1 = 48 \text{ см}$.

Вторая линза создает действительное изображение с увеличением $Г_2 = 3$. Пусть $f_2$ — расстояние от второй линзы до изображения.

$Г_2 = \frac{f_2}{d_2} = 3$

Отсюда находим расстояние до изображения $f_2$:

$f_2 = 3d_2 = 3 \cdot 48 = 144 \text{ см}$.

Теперь, зная $d_2$ и $f_2$, мы можем найти фокусное расстояние второй линзы $F_2$, используя формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F_2} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{48} + \frac{1}{144}$

Приведем дроби к общему знаменателю (144):

$\frac{1}{F_2} = \frac{3}{144} + \frac{1}{144} = \frac{4}{144} = \frac{1}{36}$

Отсюда находим искомое фокусное расстояние второй линзы:

$F_2 = 36 \text{ см}$.

Ответ: фокусное расстояние второй линзы равно 36 см.