Номер 604, страница 178 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

604. Предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии $L = 90 \, \text{см}$ от экрана. Между предметом и экраном перемещают линзу. При одном положении линзы на экране получается увеличенное изображение предмета, а при другом — уменьшенное. Определите фокусное расстояние линзы, если линейное увеличение первого изображения в четыре раза больше линейного увеличения второго изображения.

Дано:

Расстояние от предмета до экрана $L = 90$ см.

Линейное увеличение для первого положения линзы $G_1$.

Линейное увеличение для второго положения линзы $G_2$.

Соотношение увеличений $G_1 = 4 G_2$.

Найти:

Фокусное расстояние линзы $F$.

Решение:

Формула тонкой собирающей линзы связывает расстояние от предмета до линзы $d$, расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние линзы $F$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Поскольку изображение формируется на экране, оно является действительным. Расстояние между предметом и экраном $L$ постоянно и равно сумме расстояний $d$ и $f$:

$d + f = L$

Линейное увеличение $G$ определяется как отношение размера изображения к размеру предмета, что также равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета:

$G = \frac{f}{d}$

Существует два положения линзы между предметом и экраном, при которых на экране получается резкое изображение. Обозначим параметры для этих положений индексами 1 (для увеличенного изображения) и 2 (для уменьшенного изображения).

Для первого положения:

$d_1 + f_1 = L$ и $G_1 = \frac{f_1}{d_1} > 1$

Для второго положения:

$d_2 + f_2 = L$ и $G_2 = \frac{f_2}{d_2} < 1$

Фокусное расстояние $F$ линзы в обоих случаях одно и то же. Из-за симметрии уравнений линзы и расстояния (принцип обратимости световых лучей), если пара $(d_1, f_1)$ является решением, то и пара $(f_1, d_1)$ также является решением. Это означает, что второе положение линзы соответствует случаю, когда расстояние до предмета равно расстоянию до изображения из первого случая, и наоборот:

$d_2 = f_1$ и $f_2 = d_1$

Найдем связь между увеличениями для этих двух положений:

$G_1 = \frac{f_1}{d_1}$

$G_2 = \frac{f_2}{d_2} = \frac{d_1}{f_1} = \frac{1}{G_1}$

Таким образом, мы получили важное соотношение: $G_1 \cdot G_2 = 1$.

По условию задачи, линейное увеличение первого изображения в четыре раза больше линейного увеличения второго: $G_1 = 4 G_2$. Подставим это соотношение в полученное нами равенство:

$(4 G_2) \cdot G_2 = 1 \implies 4 G_2^2 = 1 \implies G_2^2 = \frac{1}{4}$

Так как увеличение для действительного изображения является положительной величиной, $G_2 = \frac{1}{2}$.

Тогда увеличение для первого положения (увеличенное изображение) равно:

$G_1 = 4 G_2 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Теперь, зная значение увеличения $G_1$, найдем соотношение между $d_1$ и $f_1$:

$G_1 = \frac{f_1}{d_1} = 2 \implies f_1 = 2d_1$

Подставим это выражение в уравнение связи расстояний $d_1 + f_1 = L$:

$d_1 + 2d_1 = L \implies 3d_1 = L \implies d_1 = \frac{L}{3}$

Соответственно, расстояние до изображения будет $f_1 = 2d_1 = \frac{2L}{3}$.

Теперь, зная $d_1$ и $f_1$, мы можем вычислить фокусное расстояние $F$ по формуле тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{L/3} + \frac{1}{2L/3} = \frac{3}{L} + \frac{3}{2L}$

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем:

$\frac{1}{F} = \frac{6}{2L} + \frac{3}{2L} = \frac{9}{2L}$

Отсюда находим фокусное расстояние:

$F = \frac{2L}{9}$

Подставим числовое значение $L = 90$ см в полученную формулу:

$F = \frac{2 \cdot 90 \text{ см}}{9} = 2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$

Ответ: фокусное расстояние линзы равно $20 \text{ см}$.