Номер 606, страница 179 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

606. Предмет находится на расстояниях $l_1 = 30$ см и $l_2 = 120$ см от главных фокусов тонкой собирающей линзы, которая формирует его действительное изображение. Определите линейное увеличение предмета.

Дано:

$l_1 = 30$ см

$l_2 = 120$ см

Линза – собирающая, изображение – действительное.

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0.3$ м

$l_2 = 1.2$ м

Найти:

$\Gamma$

Решение:

Пусть $F$ – фокусное расстояние собирающей линзы. Главные фокусы линзы расположены на главной оптической оси на расстоянии $F$ по обе стороны от ее оптического центра. Примем оптический центр линзы за начало координат (0). Тогда координаты фокусов будут $-F$ (передний фокус) и $+F$ (задний фокус).

Предмет расположен на главной оптической оси. Обозначим его координату через $x$. Согласно условию, расстояния от предмета до главных фокусов равны $l_1$ и $l_2$. Математически это можно записать так:

$|x - (-F)| = l_1 \implies |x+F| = 30$ см

$|x - F| = l_2 \implies |x-F| = 120$ см

Поскольку линза собирающая, а изображение действительное, предмет должен находиться на расстоянии $d$ от линзы, большем фокусного расстояния $F$ ($d > F$). Будем считать, что предмет находится слева от линзы, тогда его координата $x < 0$, а расстояние до линзы $d = |x|$. Условие $d > F$ в координатах означает $x < -F$.

При $x < -F$ оба выражения под знаком модуля отрицательны:

$x+F < 0$

$x-F < 0$

Следовательно, раскрывая модули, мы получаем систему уравнений:

$-(x+F) = l_1$

$-(x-F) = l_2$

Или:

$x+F = -l_1$

$x-F = -l_2$

Для нахождения фокусного расстояния $F$ вычтем второе уравнение из первого:

$(x+F) - (x-F) = -l_1 - (-l_2)$

$2F = l_2 - l_1$

$F = \frac{l_2 - l_1}{2} = \frac{120 \text{ см} - 30 \text{ см}}{2} = \frac{90 \text{ см}}{2} = 45$ см.

Для нахождения координаты предмета $x$ сложим оба уравнения системы:

$(x+F) + (x-F) = -l_1 - l_2$

$2x = -(l_1 + l_2)$

$x = -\frac{l_1 + l_2}{2} = -\frac{30 \text{ см} + 120 \text{ см}}{2} = -\frac{150 \text{ см}}{2} = -75$ см.

Расстояние от предмета до линзы $d$ равно модулю его координаты:

$d = |x| = 75$ см.

Проверим, выполняется ли условие $d > F$: $75$ см > $45$ см. Условие выполнено.

Теперь воспользуемся формулой тонкой линзы, чтобы найти расстояние от линзы до изображения $f$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Отсюда выразим $\frac{1}{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{1}{45} - \frac{1}{75}$

Приводя к общему знаменателю 225:

$\frac{1}{f} = \frac{5}{225} - \frac{3}{225} = \frac{2}{225}$

Следовательно, расстояние до изображения:

$f = \frac{225}{2} = 112.5$ см.

Линейное увеличение предмета $\Gamma$ равно отношению размера изображения к размеру предмета, что также равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Подставляем найденные значения:

$\Gamma = \frac{112.5}{75} = 1.5$

Ответ: линейное увеличение предмета равно 1.5.