Номер 611, страница 180 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

611. Точечный источник света находится в главном фокусе тонкой рассеивающей линзы. При этом на экране, установленном за линзой в ее фокальной плоскости, образуется светлое пятно диаметром $D = 6$ см. Определите диаметр круглого отверстия диафрагмы, которая расположена вплотную к линзе и ограничивает падающий на нее световой пучок.

Дано:

Тип линзы: рассеивающая

Расположение источника света: в главном фокусе, $d_o = |F|$

Расположение экрана: в фокальной плоскости, $l = |F|$

Диаметр светлого пятна на экране: $D = 6$ см

$D = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Диаметр отверстия диафрагмы: $d_{диаф}$

Решение:

Точечный источник света S расположен на главной оптической оси в фокусе рассеивающей линзы. Это означает, что расстояние от источника до линзы $d_o$ равно модулю фокусного расстояния линзы $|F|$. Экран, на котором образуется светлое пятно, находится за линзой также на фокусном расстоянии $l = |F|$.

Для определения хода лучей после линзы найдем положение мнимого изображения S', создаваемого линзой. Воспользуемся формулой тонкой линзы:

$ \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} $

Для рассеивающей линзы фокусное расстояние является отрицательной величиной: $f = -|F|$. Расстояние до источника (предмета) $d_o = |F|$. Подставим эти значения в формулу:

$ \frac{1}{|F|} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{-|F|} $

Выразим расстояние до изображения $d_i$:

$ \frac{1}{d_i} = -\frac{1}{|F|} - \frac{1}{|F|} = -\frac{2}{|F|} $

$ d_i = -\frac{|F|}{2} $

Знак "минус" указывает на то, что изображение мнимое и расположено с той же стороны от линзы, что и источник, на расстоянии $|F|/2$ от ее оптического центра.

Лучи света после прохождения через линзу распространяются так, как будто они исходят из точки мнимого изображения S'. Диафрагма с диаметром $d_{диаф}$ ограничивает пучок света, проходящий через линзу. Рассмотрим крайний луч, идущий от источника S и проходящий через край диафрагмы на расстоянии $h = d_{диаф}/2$ от главной оптической оси. После преломления в линзе этот луч (и его продолжение) будет лежать на прямой, соединяющей край диафрагмы и мнимое изображение S'. Этот луч, достигая экрана, создает край светлого пятна на расстоянии $H = D/2$ от оси.

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника, образованных главной оптической осью и преломленным лучом. Первый треугольник имеет катеты, равные расстоянию от линзы до мнимого изображения $|d_i| = |F|/2$ и радиусу диафрагмы $h$. Второй треугольник имеет катеты, равные расстоянию от мнимого изображения до экрана $|d_i| + l = |F|/2 + |F| = 3|F|/2$ и радиусу светлого пятна на экране $H$.

Из подобия треугольников следует:

$ \frac{h}{|d_i|} = \frac{H}{|d_i| + l} $

Подставим известные величины:

$ \frac{d_{диаф}/2}{|F|/2} = \frac{D/2}{3|F|/2} $

Сократим общие множители:

$ \frac{d_{диаф}}{|F|} = \frac{D}{3|F|} $

Отсюда находим искомый диаметр диафрагмы:

$ d_{диаф} = \frac{D}{3} $

Выполним расчет:

$ d_{диаф} = \frac{6 \text{ см}}{3} = 2 \text{ см} $

Ответ: диаметр круглого отверстия диафрагмы равен 2 см.