Номер 614, страница 180 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

614. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы диаметром $D = 20$ см с фокусным расстоянием $F = 10$ см на расстоянии $d = 20$ см от линзы находится точечный источник света. Определите:

а) время распространения света от источника до изображения по самому длинному пути, если толщина линзы на периферии равна нулю;

б) время распространения света от источника до изображения по самому короткому пути.

Дано:

Диаметр линзы $D = 20 \text{ см}$

Фокусное расстояние $F = 10 \text{ см}$

Расстояние от источника до линзы $d = 20 \text{ см}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

$D = 0.2 \text{ м}$
$F = 0.1 \text{ м}$
$d = 0.2 \text{ м}$

Найти:

a) $t_{дл}$ - время распространения света по самому длинному пути

б) $t_{кор}$ - время распространения света по самому короткому пути

Решение:

1. Сначала определим расстояние $f'$ от линзы до изображения, используя формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$

Отсюда находим $f'$:

$\frac{1}{f'} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{1}{10 \text{ см}} - \frac{1}{20 \text{ см}} = \frac{2 - 1}{20 \text{ см}} = \frac{1}{20 \text{ см}}$

$f' = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Изображение является действительным и находится на том же расстоянии от линзы, что и предмет (случай, когда предмет находится в двойном фокусе).

2. Согласно принципу Ферма, для идеальной линзы, которая формирует стигматическое изображение (т.е. изображение точки является точкой), время прохождения света от источника до его изображения одинаково для всех лучей, проходящих через линзу. Это означает, что оптические длины всех путей равны. Следовательно, время распространения света по самому длинному геометрическому пути (через край линзы) и по самому короткому геометрическому пути (вдоль главной оптической оси) будет одинаковым: $t_{дл} = t_{кор}$.

Для решения задачи достаточно рассчитать время для одного из путей. Условие пункта (а) позволяет легко рассчитать время для луча, проходящего через край линзы.

а) время распространения света от источника до изображения по самому длинному пути, если толщина линзы на периферии равна нулю;

Самый длинный геометрический путь $L_{дл}$ проходит луч, идущий от источника S, через край линзы P, к изображению S'.

Радиус линзы $R = \frac{D}{2} = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Путь состоит из двух отрезков: от источника до края линзы (SP) и от края линзы до изображения (PS'). По теореме Пифагора длины этих отрезков равны:

$SP = \sqrt{d^2 + R^2}$

$PS' = \sqrt{(f')^2 + R^2}$

Так как $d = f' = 0.2 \text{ м}$, то $SP = PS'$.

Общая длина пути: $L_{дл} = SP + PS' = 2\sqrt{d^2 + R^2}$.

$L_{дл} = 2\sqrt{(0.2 \text{ м})^2 + (0.1 \text{ м})^2} = 2\sqrt{0.04 \text{ м}^2 + 0.01 \text{ м}^2} = 2\sqrt{0.05 \text{ м}^2} = 2 \times 10^{-1}\sqrt{5} \text{ м} = 0.2\sqrt{5} \text{ м}$.

По условию, толщина линзы на периферии равна нулю. Это значит, что данный луч не проходит через вещество линзы и всё расстояние движется со скоростью света в вакууме $c$.

Время распространения света по этому пути:

$t_{дл} = \frac{L_{дл}}{c} = \frac{0.2\sqrt{5}}{3 \times 10^8} \approx \frac{0.2 \times 2.236}{3 \times 10^8} \approx \frac{0.4472}{3 \times 10^8} \approx 1.49 \times 10^{-9} \text{ с}$.

Ответ: Время распространения света по самому длинному пути составляет $t_{дл} = \frac{0.2\sqrt{5}}{3 \times 10^8} \text{ с} \approx 1.49 \text{ нс}$.

б) время распространения света от источника до изображения по самому короткому пути.

Самый короткий геометрический путь проходит луч, идущий вдоль главной оптической оси. Как было указано выше, согласно принципу Ферма, время распространения света от источника до изображения одинаково для всех лучей, формирующих изображение.

Следовательно, время распространения света по самому короткому пути равно времени распространения по самому длинному пути.

$t_{кор} = t_{дл} \approx 1.49 \times 10^{-9} \text{ с}$.

Ответ: Время распространения света по самому короткому пути составляет $t_{кор} = \frac{0.2\sqrt{5}}{3 \times 10^8} \text{ с} \approx 1.49 \text{ нс}$.