Номер 620, страница 182 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

620. *На главной оптической оси на расстоянии $d = 2F$ от тонкой собирающей линзы, фокусное расстояние которой $F$, расположен предмет $BA$. Линзу разрезали вдоль плоскости, в которой лежит главная оптическая ось, на две половины и симметрично сместили каждую из них вдоль главной оптической оси на расстояние $r = 1,5F$ (рис. 170). На каком расстоянии друг от друга будут находиться изображения предмета, полученные в половинках линзы? Во сколько раз высота каждого изображения, полученного в половинках линзы, отличается от высоты предмета? Решите задачу, если $F = 20 \text{ см}$.

Рис. 170

Дано:

$d = 2F$

$r = 1,5F$

$F = 20 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$F = 0,2 \text{ м}$

$d = 2 \cdot 0,2 \text{ м} = 0,4 \text{ м}$

$r = 1,5 \cdot 0,2 \text{ м} = 0,3 \text{ м}$

Найти:

$L$ - расстояние между изображениями;

$k = \frac{h_{из}}{h_{пр}}$ - отношение высоты изображения к высоте предмета.

Решение:

Сначала определим расстояние от линзы до плоскости, в которой будут формироваться изображения. Воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $d$ - расстояние от предмета до линзы, $f$ - расстояние от линзы до изображения, $F$ - фокусное расстояние линзы.

По условию $d=2F$, подставим это в формулу:

$\frac{1}{2F} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{2-1}{2F} = \frac{1}{2F}$

Отсюда расстояние до изображения $f = 2F$.

На каком расстоянии друг от друга будут находиться изображения предмета, полученные в половинках линзы?

Каждую половинку линзы можно считать отдельной тонкой линзой, оптическая ось которой смещена относительно главной оптической оси исходной системы. Верхняя половинка имеет оптическую ось, смещенную вверх на $r$, а нижняя — вниз на $r$.

Рассмотрим изображение основания предмета, которое находится на главной оптической оси (его высота равна нулю). Введем систему координат с началом в центре исходной линзы и осью $Ox$, совпадающей с главной оптической осью.

Для верхней половинки линзы ее оптическая ось находится на высоте $y=+r$. Основание предмета относительно этой оси находится на высоте $y'_{пр} = 0 - r = -r$. Высота его изображения $y'_{из}$ относительно оси этой половинки будет:

$y'_{из} = Г \cdot y'_{пр} = (-\frac{f}{d}) \cdot (-r) = \frac{f}{d} r$

Так как $f=2F$ и $d=2F$, то $\frac{f}{d} = 1$, и $y'_{из} = r$.

Полная высота первого изображения (относительно исходной оси) $y_1$ равна сумме смещения оси линзы и высоты изображения относительно этой смещенной оси:

$y_1 = r + y'_{из} = r + r = 2r$.

Аналогично для нижней половинки, ее оптическая ось смещена на $y=-r$. Основание предмета относительно этой оси находится на высоте $y''_{пр} = 0 - (-r) = +r$. Высота его изображения $y''_{из}$ относительно оси нижней половинки:

$y''_{из} = Г \cdot y''_{пр} = (-\frac{f}{d}) \cdot r = -r$.

Полная высота второго изображения $y_2$:

$y_2 = -r + y''_{из} = -r - r = -2r$.

Таким образом, получаются два изображения, одно из которых смещено вверх на $2r$, а другое — вниз на $2r$ относительно главной оптической оси. Расстояние $L$ между ними равно:

$L = |y_1 - y_2| = |2r - (-2r)| = 4r$.

Вычислим числовое значение:

$r = 1,5F = 1,5 \cdot 20 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

$L = 4 \cdot 30 \text{ см} = 120 \text{ см}$.

Ответ: Расстояние между изображениями, полученными в половинках линзы, будет 120 см.

Во сколько раз высота каждого изображения, полученного в половинках линзы, отличается от высоты предмета?

Высота изображения $h_{из}$ связана с высотой предмета $h_{пр}$ через модуль поперечного увеличения линзы $|Г|$. Смещение половинок линзы перпендикулярно главной оптической оси не изменяет ее увеличивающих свойств.

$h_{из} = |Г| \cdot h_{пр}$

Поперечное увеличение $Г$ равно:

$Г = -\frac{f}{d}$

Поскольку мы нашли, что $f=2F$ при $d=2F$, то модуль увеличения равен:

$|Г| = |-\frac{2F}{2F}| = |-1| = 1$.

Таким образом, высота каждого изображения равна высоте предмета.

Отношение высоты изображения к высоте предмета $k$ равно:

$k = \frac{h_{из}}{h_{пр}} = |Г| = 1$.

Ответ: Высота каждого изображения равна высоте предмета, то есть отличается от высоты предмета в 1 раз.