Номер 625, страница 184 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

625. Луч света падает на тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием $F = 30 \text{ см}$. На каком расстоянии от ближайшего фокуса преломленный в линзе луч пересекает главную оптическую ось, если продолжение падающего луча пересекает эту ось на расстоянии $l = 45 \text{ см}$ от линзы?

Дано:

Тип линзы: тонкая собирающая

Фокусное расстояние $F = 30 \text{ см}$

Расстояние от линзы до точки пересечения продолжения падающего луча с главной оптической осью $l = 45 \text{ см}$

$F = 0.3 \text{ м}$
$l = 0.45 \text{ м}$

Найти:

Расстояние $\Delta x$ от ближайшего фокуса до точки, где преломленный луч пересекает главную оптическую ось.

Решение:

Воспользуемся формулой тонкой линзы, которая связывает расстояние от предмета до линзы ($d$), расстояние от линзы до изображения ($f$) и фокусное расстояние ($F$):

$$ {1 \over d} + {1 \over f} = {1 \over F} $$

Согласно условию, продолжение падающего луча пересекает главную оптическую ось на расстоянии $l = 45 \text{ см}$ от линзы. Это означает, что падающие на линзу лучи света сходятся в точке, расположенной за линзой (по ходу луча). Такой предмет называется мнимым. В формуле тонкой линзы расстояние до мнимого предмета считается отрицательным. Следовательно, $d = -l = -45 \text{ см}$.

Фокусное расстояние для собирающей линзы является положительной величиной: $F = 30 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти расстояние $f$, на котором преломленный в линзе луч пересечет главную оптическую ось. Это расстояние равно расстоянию от линзы до изображения.

Выразим $1/f$ из формулы тонкой линзы:

$$ {1 \over f} = {1 \over F} - {1 \over d} $$

Подставим числовые значения:

$$ {1 \over f} = {1 \over 30} - {1 \over -45} = {1 \over 30} + {1 \over 45} $$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, равному 90:

$$ {1 \over f} = {3 \over 90} + {2 \over 90} = {5 \over 90} = {1 \over 18} $$

Из этого соотношения находим $f$:

$$ f = 18 \text{ см} $$

Положительное значение $f$ говорит о том, что изображение является действительным и находится за линзой на расстоянии 18 см от ее оптического центра. Именно в этой точке преломленный луч пересекает главную оптическую ось.

Теперь необходимо найти расстояние от этой точки до ближайшего фокуса. У линзы есть два главных фокуса, расположенные по обе стороны от нее на расстоянии $F = 30 \text{ см}$. Задний фокус находится на расстоянии 30 см от линзы в том же направлении, что и изображение.

Изображение находится на расстоянии 18 см от линзы, а задний (ближайший) фокус — на расстоянии 30 см. Искомое расстояние $\Delta x$ будет разностью этих расстояний:

$$ \Delta x = |F - f| = |30 \text{ см} - 18 \text{ см}| = 12 \text{ см} $$

Ответ: преломленный в линзе луч пересекает главную оптическую ось на расстоянии 12 см от ближайшего фокуса.