Номер 630, страница 186 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

630. На оптическую систему, состоящую из двух тонких линз $Л_1$ и $Л_2$ (рис. 175), падает световой луч $a$ и, пройдя ее, выходит под некоторым углом к оптической оси. Определите:

а) фокусное расстояние первой линзы;

б) фокусное расстояние второй линзы;

в) укажите координату точки, в которую надо переместить линзу $Л_2$, чтобы луч $b$ выходил из системы параллельно главной оптической оси.

Рис. 175

Дано

Координата линзы Л₁: $x_1 = 0$ см

Координата линзы Л₂: $x_2 = 4$ см

Луч 'a' проходит через точки $P_{a1}(-3; -2)$ см и $P_{a2}(0; -1)$ см

Луч 'b' проходит через точки $P_{b1}(4; 1)$ см и $P_{b2}(5; 3)$ см

Перевод в систему СИ:
$x_1 = 0$ м
$x_2 = 0.04$ м
$P_{a1}(-0.03; -0.02)$ м
$P_{a2}(0; -0.01)$ м
$P_{b1}(0.04; 0.01)$ м
$P_{b2}(0.05; 0.03)$ м

Найти:

а) фокусное расстояние первой линзы $F_1$

б) фокусное расстояние второй линзы $F_2$

в) новую координату линзы Л₂, $x'_2$

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы для малых углов, связывающей изменение тангенса угла наклона луча с высотой его падения на линзу и её фокусным расстоянием: $k_{вых} - k_{вх} = -\frac{h}{F}$, где $k = \tan\alpha$ - тангенс угла наклона луча к оптической оси (его угловой коэффициент), $h$ - высота падения луча на линзу (координата y), $F$ - фокусное расстояние линзы.

Сначала найдём угловые коэффициенты всех лучей, используя их координаты в системе СИ.

1. Угловой коэффициент падающего луча 'a':

$k_a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-0.01\ м - (-0.02\ м)}{0\ м - (-0.03\ м)} = \frac{0.01}{0.03} = \frac{1}{3}$.

2. Угловой коэффициент луча между линзами. Этот луч проходит через точку выхода из первой линзы $P_{a2}(0; -0.01)$ м и точку входа во вторую линзу $P_{b1}(0.04; 0.01)$ м.

$k_{12} = \frac{0.01\ м - (-0.01\ м)}{0.04\ м - 0\ м} = \frac{0.02}{0.04} = \frac{1}{2}$.

3. Угловой коэффициент выходящего луча 'b':

$k_b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0.03\ м - 0.01\ м}{0.05\ м - 0.04\ м} = \frac{0.02}{0.01} = 2$.

а) фокусное расстояние первой линзы

Первая линза Л₁ находится в $x_1 = 0$. Луч 'a' падает на неё на высоте $h_1 = -0.01$ м. Угловой коэффициент меняется с $k_a = 1/3$ на $k_{12} = 1/2$.

Применим формулу:

$k_{12} - k_a = -\frac{h_1}{F_1}$

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = -\frac{-0.01\ м}{F_1}$

$\frac{3-2}{6} = \frac{0.01\ м}{F_1}$

$\frac{1}{6} = \frac{0.01\ м}{F_1}$

$F_1 = 6 \cdot 0.01\ м = 0.06\ м = 6\ см$.

Так как $F_1 > 0$, первая линза является собирающей.

Ответ: Фокусное расстояние первой линзы равно 6 см.

б) фокусное расстояние второй линзы

Вторая линза Л₂ находится в $x_2 = 0.04$ м. Луч падает на неё на высоте $h_2 = 0.01$ м. Угловой коэффициент меняется с $k_{12} = 1/2$ на $k_b = 2$.

Применим формулу:

$k_b - k_{12} = -\frac{h_2}{F_2}$

$2 - \frac{1}{2} = -\frac{0.01\ м}{F_2}$

$\frac{3}{2} = -\frac{0.01\ м}{F_2}$

$F_2 = -\frac{2 \cdot 0.01\ м}{3} = -\frac{0.02}{3}\ м \approx -0.0067\ м = -2/3\ см$.

Так как $F_2 < 0$, вторая линза является рассеивающей.

Ответ: Фокусное расстояние второй линзы равно -2/3 см.

в) укажите координату точки, в которую надо переместить линзу Л₂, чтобы луч b выходил из системы параллельно главной оптической оси

Чтобы выходящий из системы луч был параллелен главной оптической оси, изображение, даваемое всей системой, должно находиться в бесконечности. Для второй линзы это означает, что предмет для неё должен находиться в её передней фокальной плоскости.

Предметом для второй линзы Л₂ является изображение $S'_1$, созданное первой линзой Л₁. Найдём положение этого изображения. Падающий на систему луч 'a' является частью параллельного пучка лучей (пришедшего из бесконечности) с угловым коэффициентом $k_a = 1/3$. После прохождения собирающей линзы Л₁ с фокусным расстоянием $F_1 = 0.06$ м, такой пучок соберётся в её задней фокальной плоскости.

Координата $x$ изображения $S'_1$: $x_{S'_1} = x_1 + F_1 = 0 + 0.06\ м = 0.06\ м$.

Координата $y$ изображения $S'_1$: $y_{S'_1} = F_1 \cdot k_a = 0.06\ м \cdot \frac{1}{3} = 0.02\ м$.

Итак, изображение $S'_1$ находится в точке $(0.06; 0.02)$ м.

Теперь это изображение служит предметом для линзы Л₂. Обозначим новую координату линзы Л₂ как $x'_2$. Чтобы лучи после Л₂ выходили параллельно оси, предмет $S'_1$ должен находиться в её переднем фокусе. Используем формулу тонкой линзы: $\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{F_2}$.

Условие выхода лучей параллельно оси означает, что расстояние до изображения $d_i = \infty$, следовательно $\frac{1}{d_i} = 0$. Тогда расстояние до предмета должно быть равно фокусному расстоянию: $d_o = F_2$.

Расстояние до предмета $d_o$ — это расстояние от линзы Л₂ до предмета $S'_1$. Предмет $S'_1$ находится в $x_{S'_1} = 0.06$ м. Линза находится в $x'_2$. Поскольку предмет находится правее линзы (является для неё мнимым), расстояние до него по правилу знаков будет отрицательным: $d_o = -(x_{S'_1} - x'_2) = x'_2 - x_{S'_1}$.

Получаем уравнение:

$x'_2 - x_{S'_1} = F_2$

$x'_2 - 0.06\ м = -\frac{0.02}{3}\ м$

$x'_2 = 0.06\ м - \frac{0.02}{3}\ м = \frac{0.18}{3}\ м - \frac{0.02}{3}\ м = \frac{0.16}{3}\ м$.

Переведём в сантиметры: $x'_2 = \frac{16}{3}\ см \approx 5.33\ см$.

Ответ: Линзу Л₂ надо переместить в точку с координатой $x = 16/3$ см.