Номер 628, страница 185 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

628. Сходящийся пучок лучей падает на тонкую рассеивающую линзу с фокусным расстоянием $F = -9 \text{ см}$ и за линзой сходится в главном фокусе линзы. На каком расстоянии от линзы соберется тот же пучок, если рассеивающую линзу заменить собирающей с тем же по модулю фокусным расстоянием?

Дано:

Фокусное расстояние рассеивающей линзы, $F_1 = -9$ см

Фокусное расстояние собирающей линзы, $F_2 = |-9 \text{ см}| = 9$ см

Расстояние до изображения для рассеивающей линзы, $f_1 = |F_1| = 9$ см

Перевод в систему СИ:
$F_1 = -0.09$ м
$F_2 = 0.09$ м
$f_1 = 0.09$ м

Найти:

$f_2$ — расстояние от собирающей линзы до точки, где соберётся пучок.

Решение:

Для решения задачи сначала найдем, в какой точке за линзой сходился бы падающий пучок лучей, если бы линзы не было. Затем используем эту информацию для случая с собирающей линзой.

1. Случай с рассеивающей линзой.

Запишем формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F_1}$

где $d_1$ — расстояние до объекта, $f_1$ — расстояние до изображения, $F_1$ — фокусное расстояние линзы.

Падающий на линзу пучок является сходящимся. Это означает, что лучи, составляющие пучок, пересеклись бы в некоторой точке за линзой, если бы линзы не было. Эта точка является мнимым объектом, и расстояние до него $d_1$ принимается отрицательным.

По условию, после преломления в рассеивающей линзе пучок сходится в ее главном фокусе. Это означает, что изображение является действительным (пучок сходится) и формируется на расстоянии, равном модулю фокусного расстояния, т.е. $f_1 = |F_1| = 9$ см. Фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно: $F_1 = -9$ см.

Выразим и найдем $\frac{1}{d_1}$:

$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{f_1} = \frac{1}{-9 \text{ см}} - \frac{1}{9 \text{ см}} = -\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = -\frac{2}{9 \text{ см}}$

Отсюда находим расстояние до мнимого объекта:

$d_1 = -\frac{9}{2} \text{ см} = -4.5$ см.

Отрицательное значение подтверждает, что объект мнимый. То есть, падающий пучок лучей был сфокусирован в точку, находящуюся на расстоянии 4.5 см за линзой.

2. Случай с собирающей линзой.

Рассеивающую линзу заменяют на собирающую с тем же по модулю фокусным расстоянием. Для собирающей линзы фокусное расстояние положительно: $F_2 = 9$ см.

Так как падающий пучок лучей тот же самый, то положение мнимого объекта не меняется: $d_2 = d_1 = -4.5$ см.

Теперь найдем расстояние до нового изображения $f_2$ с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2}$

Выразим $\frac{1}{f_2}$ и подставим значения:

$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{d_2} = \frac{1}{9 \text{ см}} - \frac{1}{-4.5 \text{ см}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{4.5} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3 \text{ см}}$

Отсюда находим искомое расстояние:

$f_2 = 3$ см.

Поскольку $f_2 > 0$, изображение является действительным, то есть лучи соберутся в одной точке на расстоянии 3 см от собирающей линзы.

Ответ: пучок соберется на расстоянии 3 см от линзы.