Номер 622, страница 183 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

622. *Неподвижный точечный источник света находится на главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F = 6 \text{ см}$ на расстоянии $d = 8 \text{ см}$ от линзы. Линзу начинают смещать со скоростью, модуль которой $v_1 = 3 \frac{\text{мм}}{\text{с}}$, в направлении, перпендикулярном главной оптической оси. Определите модуль скорости движения изображения источника относительно земли.

Дано:

$F = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$d = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$v_1 = 3 \frac{\text{мм}}{\text{с}} = 0.003 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$v_2$

Решение:

Поскольку источник света неподвижен и находится на главной оптической оси, его изображение также первоначально находится на этой оси. Расстояние $f$ от линзы до изображения можно найти с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $F$ — фокусное расстояние, $d$ — расстояние от источника до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Выразим $f$ из этой формулы:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{F \cdot d}$

$f = \frac{F \cdot d}{d - F}$

Подставим числовые значения:

$f = \frac{6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см}}{8 \text{ см} - 6 \text{ см}} = \frac{48 \text{ см}^2}{2 \text{ см}} = 24 \text{ см}$

Линза начинает двигаться перпендикулярно главной оптической оси со скоростью $v_1$. Введем систему координат, где ось $Ox$ совпадает с главной оптической осью, а ось $Oy$ направлена вдоль движения линзы. Источник света находится в начале координат. Тогда в момент времени $t$ координата центра линзы по оси $Oy$ будет $y_L = v_1 t$.

Высота источника (объекта) относительно смещенной оптической оси линзы будет $h_o = -y_L = -v_1 t$.

Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ равно отношению высоты изображения $h_i$ к высоте объекта $h_o$ (высоты отсчитываются от оптической оси):

$\Gamma = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{f}{d}$ (знак "минус" указывает на то, что изображение действительное и перевернутое).

Отсюда высота изображения относительно оптической оси линзы:

$h_i = -\frac{f}{d} h_o = -\frac{f}{d} (-v_1 t) = \frac{f}{d} v_1 t$

Абсолютная координата изображения $y_i$ в неподвижной системе отсчета (относительно земли) равна сумме координаты оси линзы $y_L$ и высоты изображения относительно этой оси $h_i$:

$y_i(t) = y_L(t) + h_i(t) = v_1 t + \frac{f}{d} v_1 t = (1 + \frac{f}{d}) v_1 t$

Скорость движения изображения $v_2$ — это производная его координаты $y_i$ по времени. Так как движение вдоль оси $Ox$ отсутствует ($d$ и $f$ постоянны), то скорость изображения будет направлена вдоль оси $Oy$.

$v_2 = \frac{dy_i}{dt} = \frac{d}{dt}\left( (1 + \frac{f}{d}) v_1 t \right) = (1 + \frac{f}{d}) v_1$

Подставим значения:

$\frac{f}{d} = \frac{24 \text{ см}}{8 \text{ см}} = 3$

$v_2 = (1 + 3) \cdot v_1 = 4v_1 = 4 \cdot 3 \frac{\text{мм}}{\text{с}} = 12 \frac{\text{мм}}{\text{с}}$

Ответ: $12 \frac{\text{мм}}{\text{с}}$