Номер 621, страница 183 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

621. *

Маленькому шарику, который находится на поверхности горизонтально расположенной тонкой собирающей линзы с оптической силой $D = 0,80 \text{ дптр}$, сообщили направленную вертикально вверх начальную скорость, модуль которой $v_0 = 13 \frac{\text{M}}{\text{c}}$. В течение какого промежутка времени будет существовать действительное изображение шарика, созданное этой линзой? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Оптическая сила линзы $D = 0,80 \text{ дптр} = 0,80 \text{ м}^{-1}$

Начальная скорость шарика $v_0 = 13 \text{ м/с}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Промежуток времени $\Delta t$, в течение которого существует действительное изображение.

Решение:

Действительное изображение предмета, создаваемое тонкой собирающей линзой, существует только в том случае, если предмет находится на расстоянии $d$ от линзы, которое больше ее фокусного расстояния $F$. То есть, должно выполняться условие $d > F$.

Сначала найдем фокусное расстояние линзы, зная ее оптическую силу:

$F = \frac{1}{D}$

$F = \frac{1}{0,80 \text{ м}^{-1}} = 1,25 \text{ м}$

Шарик был подброшен вертикально вверх с поверхности линзы. Его расстояние от линзы $d$ в любой момент времени $t$ совпадает с высотой подъема $h(t)$ и описывается уравнением равноускоренного движения:

$d(t) = h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Теперь объединим эти два условия. Нам нужно найти промежуток времени, в течение которого выполняется неравенство $d(t) > F$:

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} > F$

Преобразуем это неравенство к стандартному виду для квадратного неравенства:

$\frac{g}{2}t^2 - v_0 t + F < 0$

Решением этого неравенства будет интервал времени $(t_1, t_2)$, где $t_1$ и $t_2$ — это моменты времени, когда шарик находится на фокусном расстоянии от линзы. Эти моменты являются корнями соответствующего квадратного уравнения:

$\frac{g}{2}t^2 - v_0 t + F = 0$

Найдем корни этого уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a = \frac{g}{2}$, $b = -v_0$, $c = F$:

$t_{1,2} = \frac{v_0 \pm \sqrt{(-v_0)^2 - 4 \cdot \frac{g}{2} \cdot F}}{2 \cdot \frac{g}{2}} = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2gF}}{g}$

Подставим известные значения:

$t_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 2 \cdot 10 \cdot 1,25}}{10} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 25}}{10} = \frac{13 \pm \sqrt{144}}{10} = \frac{13 \pm 12}{10}$

Вычисляем два момента времени:

$t_1 = \frac{13 - 12}{10} = 0,1 \text{ с}$

$t_2 = \frac{13 + 12}{10} = 2,5 \text{ с}$

Таким образом, в момент времени $t_1 = 0,1$ с шарик, двигаясь вверх, впервые достигает фокусного расстояния. Затем он продолжает лететь вверх, и его расстояние от линзы становится больше $F$. В момент времени $t_2 = 2,5$ с шарик, падая вниз, снова оказывается на фокусном расстоянии. В течение всего времени между $t_1$ и $t_2$ расстояние от шарика до линзы было больше фокусного, и, следовательно, существовало его действительное изображение.

Продолжительность этого промежутка времени $\Delta t$ равна:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 2,5 \text{ с} - 0,1 \text{ с} = 2,4 \text{ с}$

Ответ: действительное изображение шарика будет существовать в течение 2,4 с.