Номер 619, страница 182 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

619. *Маленький шарик, подвешенный на нерастяжимой нити, равномерно вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса. При этом нить образует с вертикалью угол $\alpha$. Под шариком на расстоянии $d$ от плоскости вращения закреплена тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $F$ так, что ее главная оптическая ось совпадает с осью вращения шарика. Определите угловую скорость движения шарика, если его действительное изображение вращается по окружности радиусом $R$.

Дано:

угол отклонения нити от вертикали: $\alpha$

расстояние от плоскости вращения шарика до линзы: $d$

фокусное расстояние собирающей линзы: $F$

радиус окружности, по которой вращается изображение: $R$

ускорение свободного падения: $g$

Найти:

угловую скорость движения шарика: $\omega$

Решение:

Движение шарика представляет собой вращение конического маятника. На шарик действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити. Шарик движется по окружности радиусом $r$ в горизонтальной плоскости, поэтому его ускорение является центростремительным и равно $a_c = \omega^2 r$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось OY и горизонтальную ось OX (направленную к центру окружности вращения):

$OY: T \cos \alpha - mg = 0 \implies T \cos \alpha = mg$

$OX: T \sin \alpha = ma_c \implies T \sin \alpha = m \omega^2 r$

Разделив второе уравнение на первое, получим:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{m \omega^2 r}{mg}$

$\tan \alpha = \frac{\omega^2 r}{g}$

Отсюда выразим квадрат угловой скорости:

$\omega^2 = \frac{g \tan \alpha}{r}$

Радиус вращения шарика $r$ неизвестен. Мы можем найти его, используя условия, связанные с линзой. Шарик является объектом для линзы. Расстояние от объекта до линзы (вдоль главной оптической оси) равно $d$. Расстояние от объекта до главной оптической оси (его высота) равно радиусу вращения $r$.

Линза создает действительное изображение, которое вращается по окружности радиусом $R$. Это означает, что высота изображения равна $R$.

Воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{d_{img}} = \frac{1}{F}$

где $d_{img}$ — расстояние от линзы до изображения. Отсюда находим $d_{img}$:

$\frac{1}{d_{img}} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF} \implies d_{img} = \frac{dF}{d - F}$

Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ равно отношению высоты изображения к высоте объекта, а также отношению расстояния до изображения к расстоянию до объекта:

$\Gamma = \frac{R}{r} = \frac{d_{img}}{d}$

Подставим в это соотношение найденное выражение для $d_{img}$:

$\frac{R}{r} = \frac{1}{d} \cdot \frac{dF}{d - F} = \frac{F}{d - F}$

Из этого уравнения выразим радиус вращения шарика $r$:

$r = R \frac{d - F}{F}$

Теперь подставим это выражение для $r$ в формулу для квадрата угловой скорости:

$\omega^2 = \frac{g \tan \alpha}{R \frac{d - F}{F}} = \frac{g F \tan \alpha}{R(d - F)}$

Извлекая квадратный корень, получаем окончательное выражение для угловой скорости:

$\omega = \sqrt{\frac{g F \tan \alpha}{R(d - F)}}$

Ответ: $\omega = \sqrt{\frac{g F \tan \alpha}{R(d - F)}}$.