Номер 615, страница 181 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

615. *Мотылек летит к тонкой собирающей линзе Л вдоль линии AB (рис. 168) со скоростью, модуль которой $v=1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Постройте графики зависимости координаты y движения изображения мотылька, созданное линзой, от времени t.

Рис. 168

Дано:

Скорость мотылька $v = 1,0 \frac{м}{с}$

Тонкая собирающая линза Л.

Из рисунка определяем фокусное расстояние линзы: $F = 2$ дм.

Траектория движения мотылька — отрезок AB.

Координаты точки A: $x_A = -4$ дм, $y_A = 0$ дм.

Координаты точки B: $x_B = 0$ дм, $y_B = 2$ дм.

Переведем данные в систему СИ:

$v = 1,0 \frac{м}{с}$

$F = 0,2$ м

$x_A = -0,4$ м, $y_A = 0$ м

$x_B = 0$ м, $y_B = 0,2$ м

Найти:

График зависимости координаты $y_{из}$ изображения мотылька от времени $t$.

Решение:

1. Найдем законы движения мотылька, т.е. зависимости его координат $x_{пр}(t)$ и $y_{пр}(t)$ от времени. Будем считать, что в момент времени $t=0$ мотылек находится в точке A.

Длина отрезка AB, по которому движется мотылек, равна:

$L_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(0 - (-0,4))^2 + (0,2 - 0)^2} = \sqrt{0,4^2 + 0,2^2} = \sqrt{0,16 + 0,04} = \sqrt{0,2}$ м.

Время движения мотылька от A до B:

$t_{max} = \frac{L_{AB}}{v} = \frac{\sqrt{0,2}}{1,0} = \sqrt{0,2} \approx 0,447$ с.

Проекции скорости мотылька на оси координат:

$v_x = v \frac{x_B - x_A}{L_{AB}} = 1,0 \cdot \frac{0,4}{\sqrt{0,2}} = \frac{0,4}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{0,16}{0,2}} = \sqrt{0,8} = \frac{2}{\sqrt{5}} \frac{м}{с}$.

$v_y = v \frac{y_B - y_A}{L_{AB}} = 1,0 \cdot \frac{0,2}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{0,2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \frac{м}{с}$.

Тогда уравнения движения мотылька (предмета):

$x_{пр}(t) = x_A + v_x t = -0,4 + \sqrt{0,8} \cdot t$

$y_{пр}(t) = y_A + v_y t = 0 + \sqrt{0,2} \cdot t = \sqrt{0,2} \cdot t$

Движение происходит в интервале времени $t \in [0, \sqrt{0,2} \text{ c}]$.

2. Воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой поперечного увеличения.

Формула тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения.

В нашей системе координат $d = -x_{пр}$ (т.к. предмет находится слева от линзы, $x_{пр} < 0$), а $f = x_{из}$.

$\frac{1}{-x_{пр}} + \frac{1}{x_{из}} = \frac{1}{F} \implies x_{из} = \frac{F \cdot x_{пр}}{x_{пр} + F}$.

Поперечное увеличение линзы: $\Gamma = \frac{y_{из}}{y_{пр}} = \frac{f}{d} = \frac{x_{из}}{-x_{пр}}$.

Отсюда выразим $y_{из}$:

$y_{из} = y_{пр} \cdot \frac{x_{из}}{-x_{пр}} = y_{пр} \cdot \frac{1}{-x_{пр}} \left( \frac{F \cdot x_{пр}}{x_{пр} + F} \right) = \frac{-F \cdot y_{пр}}{x_{пр} + F}$.

3. Подставим в полученную формулу зависимости $x_{пр}(t)$ и $y_{пр}(t)$:

$y_{из}(t) = \frac{-F \cdot (\sqrt{0,2} \cdot t)}{(-0,4 + \sqrt{0,8} \cdot t) + F} = \frac{-0,2 \cdot \sqrt{0,2} \cdot t}{(-0,4 + \sqrt{0,8} \cdot t) + 0,2} = \frac{-0,2 \sqrt{0,2} \cdot t}{\sqrt{0,8} \cdot t - 0,2}$.

Упростим выражение, зная что $\sqrt{0,8} = \sqrt{4 \cdot 0,2} = 2\sqrt{0,2}$:

$y_{из}(t) = \frac{-0,2 \sqrt{0,2} \cdot t}{2\sqrt{0,2} \cdot t - 0,2}$.

4. Проанализируем полученную функцию $y_{из}(t)$ на интервале $t \in [0, \sqrt{0,2} \text{ c}]$.

При $t = 0$ (мотылек в точке А):

$y_{из}(0) = \frac{0}{0 - 0,2} = 0$ м. Изображение находится в начале координат.

Знаменатель обращается в ноль, когда мотылек находится в переднем фокусе линзы, т.е. $x_{пр} = -F = -0,2$ м. Найдем соответствующий момент времени $t_F$:

$-0,2 = -0,4 + \sqrt{0,8} \cdot t_F \implies 0,2 = \sqrt{0,8} \cdot t_F \implies t_F = \frac{0,2}{\sqrt{0,8}} = \sqrt{\frac{0,04}{0,8}} = \sqrt{0,05} = \frac{\sqrt{0,2}}{2} \approx 0,224$ с.

В этот момент времени $t_F$ функция имеет вертикальную асимптоту. Изображение уходит в бесконечность.

При $t \to t_F$ слева ($t < t_F$), знаменатель $\sqrt{0,8} \cdot t - 0,2 < 0$, числитель отрицательный, значит $y_{из} \to +\infty$.

При $t \to t_F$ справа ($t > t_F$), знаменатель $\sqrt{0,8} \cdot t - 0,2 > 0$, числитель отрицательный, значит $y_{из} \to -\infty$.

При $t = t_{max} = \sqrt{0,2}$ c (мотылек в точке B):

$y_{из}(\sqrt{0,2}) = \frac{-0,2 \sqrt{0,2} \cdot \sqrt{0,2}}{2\sqrt{0,2} \cdot \sqrt{0,2} - 0,2} = \frac{-0,2 \cdot 0,2}{2 \cdot 0,2 - 0,2} = \frac{-0,04}{0,4 - 0,2} = \frac{-0,04}{0,2} = -0,2$ м.

Таким образом, график зависимости $y_{из}(t)$ представляет собой две ветви гиперболы.
- При $t$ от $0$ до $t_F = \sqrt{0,05}$ c (примерно 0,224 с) координата $y_{из}$ увеличивается от $0$ до $+\infty$.
- При $t = t_F = \sqrt{0,05}$ c график имеет разрыв (вертикальная асимптота).
- При $t$ от $t_F$ до $t_{max} = \sqrt{0,2}$ c (примерно 0,447 с) координата $y_{из}$ изменяется от $-\infty$ до $-0,2$ м (или $-2$ дм).

Ответ: График зависимости координаты $y$ изображения от времени $t$ является гиперболой, описываемой функцией $y_{из}(t) = \frac{-0,2 \sqrt{0,2} \cdot t}{\sqrt{0,8} \cdot t - 0,2}$ в интервале времени $t \in [0, \sqrt{0,2}]$. График начинается в точке $(0, 0)$, при $t = \sqrt{0,05}$ с имеет вертикальную асимптоту (уходит на $+\infty$ слева и приходит из $-\infty$ справа) и заканчивается в точке $(\sqrt{0,2}, -0,2)$.