Номер 584, страница 175 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

584. Луч света, падающий на тонкую собирающую линзу,
пересекает ее главную оптическую ось под углом $\alpha$ на
расстоянии $d = 18$ см от оптического центра линзы.
Преломленный луч пересекает эту же ось под углом $\beta$.
Определите фокусное расстояние линзы, если отношение
$\frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha} = 2$.

Дано:

$d = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

$\frac{\text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha} = 2$

Найти:

$F$

Решение:

Рассмотрим ход луча через тонкую собирающую линзу. Пусть луч падает на линзу на высоте $h$ от главной оптической оси.

Падающий луч пересекает главную оптическую ось на расстоянии $d$ от оптического центра линзы. Можно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный падающим лучом, главной оптической осью и плоскостью линзы. Катеты этого треугольника равны $h$ и $d$. Угол $\alpha$ является одним из острых углов этого треугольника. Таким образом, тангенс угла $\alpha$ можно выразить как:

$\text{tg}\alpha = \frac{h}{d}$

После преломления в линзе луч пересекает главную оптическую ось на некотором расстоянии $f'$, которое является расстоянием от линзы до изображения. Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный преломленным лучом, главной оптической осью и плоскостью линзы. Его катеты равны $h$ и $f'$. Тангенс угла $\beta$ равен:

$\text{tg}\beta = \frac{h}{f'}$

Теперь используем данное в условии соотношение:

$\frac{\text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha} = \frac{h/f'}{h/d} = \frac{d}{f'} = 2$

Отсюда можем выразить расстояние до изображения $f'$ через расстояние до объекта $d$:

$f' = \frac{d}{2}$

Точка, в которой падающий луч пересекает главную оптическую ось, является точечным объектом. Расстояние от этого объекта до линзы равно $d$. Точка, в которой преломленный луч пересекает ось, является изображением этого объекта. Расстояние от линзы до изображения равно $f'$.

Воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$

где $F$ – фокусное расстояние линзы. Подставим в эту формулу выражение для $f'$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{d/2} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d} + \frac{2}{d} = \frac{1}{F}$

$\frac{3}{d} = \frac{1}{F}$

Отсюда выразим фокусное расстояние $F$:

$F = \frac{d}{3}$

Подставим числовое значение $d = 18$ см:

$F = \frac{18 \text{ см}}{3} = 6 \text{ см}$

Ответ: фокусное расстояние линзы равно $6$ см.